Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

2. Все углы равны:

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

Dn =  n · (n — 3)
2

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

S =  π a2
4

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Когда прямоугольник является квадратом?

  1. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат.
  2. Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами, то этот прямоугольник – квадрат.
  3. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник – квадрат.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · tg 180°
n
a = 2r · tg π
n

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

a = 2 R · sin 180°
n
a = 2 R · sin π
n

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

r = a : (2tg 180° )
n
r = a : (2tg π )
n

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = a : (2sin 180° )
n
R = a : (2sin π )
n

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

S =  na2 · ctg 180°
4 n

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

S =  nr2 · tg 180°
n

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

S =  nR2 · sin 360°
2 n

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

αn =  n — 2 · 180°
n
3-polygon.png
Рис.3

Стороны прямоугольника

Определение.Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d2b2

b = √d2a2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

a =  S
b
b =  S
a

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:

a =  P — 2b
2
b =  P — 2a
2

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:

a = d sin  β
2
b = d cos  β
2

Когда параллелограмм является квадратом?

  1. Если в параллелограмме стороны равны и диагонали равны, то этот параллелограмм – квадрат (Если в параллелограмме стороны равны, то этот параллелограмм – ромб. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб прямоугольник. Если ромб является прямоугольником, то он – квадрат).
  2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то этот параллелограмм – квадрат (Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является и прямоугольником. Параллелограмм, который одновременно и ромб, и прямоугольник является квадратом).
  3. Если в параллелограмме диагонали равны и делят углы параллелограмма пополам, то этот параллелограмм – квадрат (Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Если диагонали параллелограмма являются его биссектрисами, то этот параллелограмм – ромб. Если прямоугольник является ромбом, то он – квадрат).
  4. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, и углы прямые, то этот параллелограмм – квадрат (Если диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. Если углы прямые, то этот ромб – квадрат).
  5. Если в параллелограмме стороны равны и углы прямые, то этот параллелограмм – квадрат (Если стороны равны, то это ромб. Если углы прямые, то это прямоугольник. Значит параллелограмм является и ромбом и прямоугольников. Следовательно, этот параллелограмм – квадрат).
  6. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, и углы прямые, то этот параллелограмм – квадрат (Если диагонали являются биссектрисами, то этот параллелограмм – ромб. Если в ромбе углы прямые, то это квадрат).
  7. Если около параллелограмма можно описать окружность и вписать окружность, то этот параллелограмм – квадрат.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий