Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Секанс, косеканс

( sec x = dfrac1{ cos x } ; )( cosec x = dfrac1{ sin x } )

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол ( LARGE 0^{circ } )

Абсцисса точки равна 1, ордината точки равна . Следовательно,

cos 0 = 1  sin 0 = 0

Рис 4. Нулевой уголУгол ( LARGE frac{pi}{6} = 30^{circ } )

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

[ sin frac{pi}{6} =frac{1}{2} ]

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

[ cos frac{pi}{6} = sqrt{1 — left(frac{1}{2} right)^{2} } =frac{sqrt{3} }{2} ]

1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.

Рис 5. Угол π / 6Угол ( LARGE frac{pi}{4} = 45^{circ } )

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

[ x^{2} + x^{2} = 1 ]

откуда ( x=frac{sqrt{2} }{2} ). Следовательно,

[ cos frac{pi}{4} = sin frac{pi}{4} =frac{sqrt{2} }{2} ]

Рис 5. Угол π / 4

§17. Механические колебания

17.1 Периодические функции.

Img_Slob-10-17-181.jpg

Функция F(x) называется периодической (Рис. 181), если существует такое число T, что для любого значения x справедливо выражение

(~F(x+T) = F(x)) . (1)

Очевидно, что подобное соотношение будет справедливо и для сдвига аргумента на 2T, 3T, …. Минимальное значение T, для которого выполняется соотношение (1) называется периодом функции.

Простейшими, и наиболее известными периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус.

Img_Slob-10-17-182.jpg

Возьмем окружность единичного радиуса с центром в начале координат (Рис. 182). Положение произвольной точки A этой окружности задается единичным радиус-вектором (~vec {OA}), образующим угол φ с осью Ox. Как обычно, положительным направлением отсчета угла является направление «против часовой стрелки. Косинусом угла φ называется абсцисса x радиус-вектора точки A, синусом угла φ называется ордината y этого же вектора. Аргумент[1] этих функций может принимать произвольные значения.

Понятно, что при изменении аргумента на полный угол 2π радиус-вектор занимает прежнее положение, поэтому периодом функций (y = sin varphi) и (y = cos varphi) является величина T = 2π. На рис. 183 приведены графики этих функций.

Заметим, что графики этих функций изображаются одной и той же кривой, которая называется синусоидой, только сдвинуты друг относительно друга на величину (~frac{pi}{2}) . Из определения тригонометрических функций и рис. 182 следуют формулы приведения

(~begin{matrix} sin left (varphi + frac{pi}{2} right) = cos varphi, & sin (varphi + pi) = -sin varphi \ cos left (varphi + frac{pi}{2} right) = -sin varphi, & cos (varphi + pi) = -cos varphi end{matrix}) . (2)

Обратим также внимание, что косинус является четной функцией (cos (-varphi) = cos varphi) , а синус – нечетной (sin (-varphi) = -sin varphi).

Приведем ряд тригонометрических формул, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Из теоремы Пифагора следует основное тригонометрическое тождество

(~sin^2 varphi + cos^2 varphi = 1) , (3)

из которого легко выразить одну из тригонометрических функций через другую.

Получим формулы для синуса и косинуса суммы двух аргументов. Пусть единичный отрезок OA образует угол α с осью Ox (Рис. 184). Проведем еще один единичный отрезок OB, образующий угол β с отрезком OA и, соответственно угол (α + β) с осью Ox. Согласно определению косинус суммарного угла равен длине отрезка OD, которая равна разности длин отрезков OE и DE :

(~cos(alpha + beta) = |OD| = |OE| — |OD|).

Рассматривая прямоугольный треугольник OBC, видим, что его катеты равны

(~begin{matrix} |OC| = cos beta \ |BC| = sin beta end{matrix}) .

Далее, рассматривая подобные треугольники OCE и BFC, в которых один из углов равен α, находим, что

(~cos(alpha + beta) = |OD| = |OE| − |OD| = |OC| cos alpha — |BC| sin alpha = cos beta cdot cos alpha — sin beta cdot sin alpha).

Таким образом, формула для косинуса суммы имеет вид

(~cos(alpha + beta) = cos alpha cdot cos beta — sin alpha cdot sin beta). (3)

Аналогично с помощью рис. 184 можно получить формулу для синуса суммы

(~sin(alpha + beta) = sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta). (4)

Полагая в этих формулах α = β, получим формулы для косинуса и синуса двойного аргумента:

(~begin{matrix} cos 2 alpha = cos^2 alpha — sin^2 alpha \ sin 2 alpha = 2 sin alpha cdot cos alpha end{matrix}) . (5)

Из первой из этих формул и основного тригонометрического тождества следую формулы «понижения степени»:

(~begin{matrix} cos^2 alpha = frac{1}{2} (1 + cos 2 alpha) \ sin^2 alpha = frac{1}{2} (1 — cos 2 alpha) end{matrix}) . (6)

Используя формулу для косинуса суммы, получим формулы для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Из формулы для косинуса суммы

(~cos(alpha + beta) = cos alpha cdot cos beta — sin alpha cdot sin beta)

запишем формулу для косинуса разности (используя свойства четности тригонометрических функций)

(~cos(alpha — beta) = cos alpha cdot cos beta + sin alpha cdot sin beta).

Складывая и вычитая эти две формулы, получим, что

(~begin{matrix} cos alpha cdot cos beta = frac{1}{2} (cos(alpha — beta) + cos(alpha + beta)) \ sin alpha cdot sin beta = frac{1}{2} (cos(alpha — beta) — cos(alpha + beta)) end{matrix}) . (7)

Покажем, как можно преобразовать линейную комбинацию синуса и косинуса (y(varphi) = A sin varphi + b cos varphi). Вынесем за скобки выражение (~sqrt{A^2 + B^2}):

(~y(varphi) = A sin varphi + b cos varphi = sqrt{A^2 + B^2} left( frac{A}{sqrt{A^2 + B^2}} sin varphi + frac{B}{sqrt{A^2 + B^2}} cos varphi right)) . (8)

Теперь коэффициенты при синусе и косинусе удовлетворяют условию

(~left( frac{A}{sqrt{A^2 + B^2}} right)^2 + left( frac{B}{sqrt{A^2 + B^2}} right)^2 = 1),

поэтому их можно обозначить как косинус и синус некоторого угла Δφ:

(~frac{A}{sqrt{A^2 + B^2}} = cos Delta varphi ; frac{B}{sqrt{A^2 + B^2}} = sin Delta varphi) . (9)

Следовательно, формулу (8) можно записать в виде

(~y(varphi) = A sin varphi + b cos varphi = sqrt{A^2 + B^2} (sin varphi cdot cos Delta varphi + sin Delta varphi cdot cos varphi) = sqrt{A^2 + B^2} sin (varphi + Delta varphi)) . (10)

Таким образом, линейная комбинация синуса и косинуса одного аргумента может быть представлена как синус (или косинус) аргумента с некоторым сдвигом, величина которого определяется формулами (9).

Отметим также приближенные формулы, справедливые при малых значениях аргумента (x<< 1): синус малого аргумента приблизительно равен самому аргументу

(~sin x approx x) . (11)

Погрешность этой формулы составляет величину порядка x3. Геометрически эта формула означает, что длина малой форды примерно равна длине дуги, стягивающей эту хорду.

Для косинуса малого аргумента справедлива приближенная формула

(~cos x approx 1 — frac{x^2}{2}) , (12)

погрешность которой является величиной порядка x4. Рис. 185 иллюстрирует эти приближенные формулы.

Наконец, приведем выражения для производных от этих функций:

производная синуса угла равна косинусу этого же угла

(~(sin x)’ = cos x) , (13)

а производная косинуса равна синусу, взятому с противоположным знаком:

(~(cos x)’ = -sin x) . (14)

Отгадайте загадку:

Человек выпрыгнул из самолёта без парашюта. Он приземлился на твёрдый грунт, но остался невредимым. Почему? Показать ответ>>

Человек делает так, чтобы он включился, но когда он включается, человек его сразу отключает. Показать ответ>>

Человек полностью здоров, не умер, не инвалид, но выносят его из больницы на руках. Показать ответ>>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий