Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени — Всё для чайников

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

53f5451a10087b29a7e4796e2ced9bb3-300x225.jpg

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a4 3h2b6 5(a – h)6
Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a – h)6
Результат 8a4 -h2b6 3(a – h)6

Или: 2a4 – (-6a4) = 8a43h2b6 – 4h2b6 = -h2b65(a – h)6 – 2(a – h)6 = 3(a – h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2
Второй множитель am -2x a3b2y
Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

Или:x-3 ⋅ am = amx-33a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат – это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 – это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель 4an b2y3 (b + h – y)n
Второй множитель 2an b4y (b + h – y)
Результат 8a2n b6y4 (b + h – y)n+1

Или:4an ⋅ 2an = 8a2nb2y3 ⋅ b4y = b6y4(b + h – y)n ⋅ (b + h – y) = (b + h – y)n+1

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых – отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a – b, результат будет равен a2 – b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое 9a3y4 a2b + 3a2 d⋅(a – h + y)3
Делитель -3a3 a2 (a – h + y)3
Результат -3y4 b + 3 d

Или:$frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$frac{a2b + 3a2}{a2} = frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$frac{dcdot (a – h + y)3}{(a – h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чиселa+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $frac{aan}{a} = an$.

Делимое y2m 8an+m 12(b + y)n
Делитель ym 4am 3(b + y)3
Результат ym 2an 4(b +y)n-3

Или:y2m : ym = ym8an+m : 4am = 2an12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.Также, $frac{1}{aaaaa} : frac{1}{aaa} = frac{1}{aaaaa}.frac{aaa}{1} = frac{aaa}{aaaaa} = frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:frac{1}{h} = h2.frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $frac{6×6}{3×5}$. Ответ: $frac{2x}{1}$ или 2x.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a – b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 – 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 – 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/slogenie-vichitanie-umnozhenie-delenie-stepeney.html

Действия со степенями: правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

96cf524e5af73fe103e327328938c321-300x225.jpg

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-vozmozhny-dejstviya-so-stepenyami.html

a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *a ^(m-n)+1}

Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки.

a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)

Как возвести число в степень.

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

kalkulyator-stepenej.png

Возведение в степень

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий